天才一秒记住【新笔下文学】地址：www.bixiabook.cc
睡下了，也没有声张，各自收拾了一番，也躺下了。
第二天，三人起床后迅速收拾，今天照例是白发魔的课，还是去早一点比较好。
只是，让他们没想到的是，白发魔今天去的格外的早，看见他们进来，就冲徐武点点头，对李涛两人挥挥手，三人都明白什么意思了，各自走向自己的位置。
徐武走到黑板上，看着眼前的白发魔很是无奈，到底什么时候才能结束，每次上课前都是老一套，跟看猴似的。
“呵呵呵……徐武同学，前天的比赛很精彩呢！就是不知道你的功课落下了没有？今天做完这道题，以后的数学课你就可以自己安排了，只要两周后的竞赛时间不要忘了就行。”白发魔说完，把手里的粉笔递给徐武，自己走到讲台一边，静静的看着。
徐武一愣，好家伙，这是早有准备，把题目都写好了。
题目：设 \\( a, b, c \\) 是正实数，用柯西不等式证明 \\( (a + b + c)( \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c} ) ＝9 \\)。
解：
1. 应用柯西不等式：
柯西不等式表明，对于任意的实数 \\( x_1, x_2, \\ldots, x_n \\) 和 \\( y_1, y_2, \\ldots, y_n \\)，我们有
\\[ (x_1^2 + x_2^2 + \\cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \\cdots + y_n^2) \\geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \\cdots + x_ny_n)^2 \\]
2. 选择合适的 \\( x_i \\) 和 \\( y_i \\)：
用\\( x_i \\) 和 \\( y_i \\) 来表示 \\( a, b, c \\) 和 \\( \\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, \\frac{1}{c} \\)。我们可以令
\\[x_1 = \\sqrt{a}, \\quad x_2 = \\sqrt{b}, \\quad x_3 = \\sqrt{c}, \\quad y_1 = \\sqrt{a}, \\quad y_2 = \\sqrt{b}, \\quad y_3 = \\sqrt{c} \\]
3. 应用柯西不等式：
根据柯西不等式，我们有
\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \\geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \\]
4. 简化右边的表达式：
将 \\( x_i \\) 和 \\( y_i \\) 的值代入，我们得到
\\[ (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 = (\\sqrt{a}\\sqrt{a} + \\sqrt{b}\\sqrt{b} + \\sqrt{c}\\sqrt{c})^2 = (a + b + c)^2 \\]
5. 得出结论：
因此，我们有
\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) \\ge
本章未完，请点击下一章继续阅读！若浏览器显示没有新章节了，请尝试点击右上角↗️或右下角↘️的菜单，退出阅读模式即可，谢谢！